^m@teMatiC^

Permutasi dan Kombinasi

Faktorial Bilangan Asli

Definisi : Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :

n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … 3 x 2 x 1
n ! dibaca n faktorial

Telah diambil kesepakatan bahwa : 0 ! = 1

PERMUTASI

Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda

Definisi: Permutasi adalah suatu susunan unsur-unsur berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang boleh diulang

Seorang Bapak yang sedang menunggui istrinya dalam proses persalinan, telah menyiapkan nama ANI untuk calon bayi yang akan segera lahir. Beberapa saat kemudian, bidan memberi tahu bahwa istrinya akan melahirkan bayi kembar. Si Bapak berfikir, berapa bayi kembar yang dapat dinamai dengan menggunakan huruf-huruf pada kata ANI?

Dari cerita tadi, si Bapak mengambil untuk huruf pertama dari tiga huruf yang tersedia. Selanjutnya mengambil satu huruf untuk huruf kedua dari dua huruf yang tersisa. Terakhir, mengambil satu huruf sisa untuk huruf ketiga

3 2 1

Berdasarkan kaidah dasar membilang, maka banyaknya susunan 3 unsur (huruf) berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur (huruf) yang boleh diulang adalah = 3 x 2 x 1 = 6 susunan.

Secara umum, penyusunan n unsur berbeda dalam suatu urutan tertentu tanpa ada unsur yang diulang disebut permutasi dari n unsur. Susunan urutan dapat dibentuk dari n unsur sebanyak :

n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x . x 3 x 2 x 1 = n!

Banyaknya permutasi dari n unsur, diberi notasi P(n, n) diberikan oleh


P(n, n) = nx(n–1)x(n–2)x …  3 x 2 x 1

Berapa banyaknya nama yang dapat dibentuk dari huruf-huruf yang terdapat pada kata MIRA ? Banyaknya unsur yang tersedia sebanyak 5 dan susunan yang akan dibentuk terdiri atas 3 unsur, maka :

  • Huruf pertama dapat diisi dari 5 huruf pilihan yang mungkin
  • Huruf kedua dapat diisi dari 4 huruf pilihan sisa setelah terpakai pada huruf pertama
  • Huruf ketiga dapat diisi dari 3 huruf pilihan sisa setelah terpakai pada huruf pertama dan kedua

Berdasarkan kaidah dasar membilang, maka banyaknya susunan 3 unsur berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang boleh diulang adalah = 5 x (5-1) x (5-2) = 5 x 4 x 3 = 60 susunan. Secara umum, banyaknya permutasi r unsur dari n unsur dengan 0 < r < n adalah :

Buktikan bahwa P(n , n) = n!

Contoh :

Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :

  1. Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
  2. Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?

Jawaban :

  1. Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8 ) diberikan oleh : P(8, 8 ) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
  2. 5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720

 

Permutasi Siklis

Contoh :

Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?

Jawaban :

Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu :

(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

KOMBINASI

Kombinasi adalah campuran atau gabungan atau susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.

Contoh :

Seorang pemuda akan mempersembahkan serangkaian bunga dua warna dari lima warna bunga antara lain merah, putih, biru, hijau, dan kuning yang terdapat di tamannya. Berapa macam rangkaian bunga yang dapat dibuat pemuda tersebut?

Jawaban :

Apakah sama antara rangkaian bunga {Merah, Kuning} dengan rangkaian bunga {Kuning, Merah} ? Kasus tersebut dinamakan kombinasi dua unsur dari lima unsur yang tersedia dan dilambangkan dengan :

Permutasi 2 unsur dari 5 unsur ditulis  yang merupakan dua kejadian berikut :

  1. Membuat rangkaian bunga yang memiliki 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia dengan tidak
    memperhatikan urutan terdapat cara
  2. Menyusun elemen-elemen himpunan bagian dalam urutan yang berbeda yaitu {MK, KM}, {MB, BM}, {MH, HM}, {MP, PM}, {KB, BK}, {KH, HK}, {KP, PK}, {BH, HB}, {BP, PB}, dan {HP, PH} terdapat dua cara penyusunan atau 2! cara

Kejadian gabungan 1 diikuti oleh 2 adalah permutasi 2 unsur dari 5 unsur atau  P(5, 2) =

Sehingga banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dengan 0 < r < n, diberi notasi  adalah

 

Tinggalkan komentar